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Déterminer la valeur exacte de $cos(\dfrac{\pi}{8})$ puis de $sin(\dfrac{\pi}{8})$
Formules d'addition
Pour tous réels $a$ et $b$, on a:
$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$
$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$
$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$
$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$
$\dfrac{2\pi}{8}=\dfrac{\pi}{4}$
$cos(\dfrac{\pi}{4})=cos(\dfrac{2\pi}{8})$\\
$cos(\dfrac{\pi}{4})=cos(\dfrac{2\pi}{8})=2cos^2(\dfrac{\pi}{8})-1$ et $cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
donc $2cos^2(\dfrac{\pi}{8})-1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\phantom{\Longleftrightarrow}2cos^2(\dfrac{\pi}{8})-1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Longleftrightarrow 2cos^2(\dfrac{\pi}{8})=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}$
$\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
$\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$
$\Longleftrightarrow cos(\dfrac{\pi}{8})=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}$ car $cos(\dfrac{\pi}{8})>0$
$cos^2(\dfrac{\pi}{8})+sin^2(\dfrac{\pi}{8})=1$
donc $sin^2(\dfrac{\pi}{8})=1-cos^2(\dfrac{\pi}{8})=1-\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$ et $sin(\dfrac{\pi}{8})>0$\\
donc $sin(\dfrac{\pi}{8})=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}}$
$cos(\dfrac{\pi}{4})=cos(\dfrac{2\pi}{8})=2cos^2(\dfrac{\pi}{8})-1$ et $cos(\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
donc $2cos^2(\dfrac{\pi}{8})-1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\phantom{\Longleftrightarrow}2cos^2(\dfrac{\pi}{8})-1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Longleftrightarrow 2cos^2(\dfrac{\pi}{8})=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}$
$\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
$\Longleftrightarrow cos^2(\dfrac{\pi}{8})=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}$
$\Longleftrightarrow cos(\dfrac{\pi}{8})=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}$ car $cos(\dfrac{\pi}{8})>0$
$cos^2(\dfrac{\pi}{8})+sin^2(\dfrac{\pi}{8})=1$
donc $sin^2(\dfrac{\pi}{8})=1-cos^2(\dfrac{\pi}{8})=1-\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}$ et $sin(\dfrac{\pi}{8})>0$\\
donc $sin(\dfrac{\pi}{8})=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}}$
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